初三数学二次函数综合题

2010/12/5 13:00:00 浏览：4303 来源：东莞家教网

一. 教学内容：

    二次函数综合题

  例1. 已知抛物线与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C。

    （1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；

    （2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

    （3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）。

    解：（1）当时，抛物线的解析式为

    正确的结论有：①抛物线的解析式为；②开口向下；③顶点坐标为（1，1）；④抛物线经过原点；⑤与x轴另一个交点的坐标是（2，0）；⑥对称轴为直线等。

    （2）存在。当时，，即有

   

    ∵点B在原点右边

   

    ∵当时，，点C在原点下方

   

    当时，

    或（不合要求，舍去）

    ∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时

    （3）如①对任意的m，抛物线的顶点都在直线上；

    ②对任意的m，抛物线与x轴的两个交点间的距离是一个定值；

    ③对任意的m，抛物线与x轴的两个交点的横坐标之差的绝对值为2。

 

  例2. 已知抛物线与x轴交于点

    （1）若点在抛物线上，求m的值；

    （2）若抛物线与抛物线关于y轴对称，点，都在抛物线上，则的大小关系是___________（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；

    （3）设抛物线的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值。

    解：（1）∵点，在抛物线上

   

    （2）

    （3）解法1：

   

    ∵抛物线开口向上，且与x轴交于点

   

    ∵△AMB是直角三角形，又AM＝MB

    ∴∠AMB＝90°，△AMB是等腰直角三角形

    过M作MN⊥x轴，垂足为N，则N（1，0）

    又NM＝NA

   

    或（不合题意，舍去）

    解法2：又NM＝NA＝NB

   

    解得：

   

    或（不合题意，舍去）

 

  例3. 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。

    （1）求点D的坐标；

    （2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

    （3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

    （4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

    解：（1）由题知，直线与BC交于点D（x，3)

    把y＝3代入中得，

    ∴D（4，3）

    （2）∵抛物线经过D（4，3）、A（6，0）两点

    把分别代入中得：

        解之得：

    ∴抛物线的解析式：

    （3）因△POA底边OA＝6

    ∴当有最大值时，点P须位于抛物线的最高点

    ，∴抛物线顶点恰为最高点

   

    的最大值

    （4）抛物线的对称轴与x轴的交点，符合条件

    ∵CB∥OA，

   

    ，该点坐标为

    过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点

    ∵对称轴平行于y轴

   

   

    在和中

   

   

    ∵点位于第四象限

   

    因此，符合条件的点有两个，分别是

 

  例4. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到。

    （1）在图中画出；

    （2）求经过三点的抛物线的解析式。

    解：（1）

   

    （2）设该抛物线的解析式为：

    由题意知三点的坐标分别是

   

    解这个方程组得

    ∴抛物线的解析式是：

 

  例5. 二次函数的图像经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴。

    （1）求此函数的解析式；

    （2）作出二次函数的大致图像；

    （3）在对称轴上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由。

    解：（1）    解得：

    解析式为：

    （2）

   

    （3）存在

    作AB的垂直平分线交对称轴于点P，连结PA、PB，则PA＝PB

    设P点坐标为（1，m），则

   

    解得：

    ∴点P的坐标为

 

  例6. 如图，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，过C作CD⊥x轴，D为垂足。

    （1）求点A、B的坐标和AD的长；

    （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。

    解：（1）在中分别令

    得A（1，0），B（0，2）

    易证

    ∴AD＝OB＝2

    （2）∵A（1，0），B（0，2），且由（1）得C（3，1）

    设过A、B、C三点的抛物线为

        解得

   

 

  例7. 如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD。

    （1）求C、D两点的坐标；

    （2）求经过C、D、B三点的抛物线的解析式；

    （3）设（2）中抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB的钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，并说明理由。

    解：（1）由旋转的性质可知：

    ∴C、D两点的坐标分别为

    （2）设所求抛物线的解析式为

    根据题意，得

    解得

    ∴所求抛物线的解析式为

    （3）答：△PMB是钝角三角形。

    如图，PH是抛物线的对称轴

    求得M、P点的坐标分别为M（2，1）、P（1，）

    ∴点M在PH的右侧

    ∵∠PHB＝90°

    ∴∠1＞90°

    ∵∠PMB＞∠1

    ∴∠PMB＞90°

    ∴△PMB为钝角三角形

 

  例8. 已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为，重叠部分（阴影）为△BDC。

    （1）求证：△BDC是等腰三角形。

    （2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积。

    （3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点是否落在已知的抛物线上？请说明理由。

    解：（1）由折叠知：∠ABD＝∠DBC

    ∵四边形ABOD是矩形

    ∴AB∥DO

    ∴∠ABD＝∠CDB

    ∴∠CBD＝∠BDC

    ∴△BDC是等腰三角形

    （2）∵点A（1，m）在的图像上

   

    在Rt△ABD中，

    ∴∠ABD＝30°

    ∴∠CBO＝30°

   

    （3）设直线BC解析式为：

   

   

    解得

   

    设的坐标为（x，y），过作轴于M，则

    ，即

    代入，得

    ∴点的坐标是

    把代入，得：

   

    ∴在此抛物线上

 

（答题时间：35分钟）

一. 填空题：

  1. 已知抛物线，顶点坐标是_______________，与y轴的交点坐标是_______________，以其顶点为中心旋转180°，得新的抛物线解析式是________________。

  2. 将抛物线化成的形式是_________________，其对称轴为直线_______________，开口向____________；当x___________时，y随x的增大而_______________。

  3. 已知抛物线，则其和x轴的交点坐标是A（      ），B（      ）（A在B的左侧），当x取_______________时，；当x取_______________时，。

  4. 二次函数的图像，可由的图像先向________平移_______个单位，再向________平移________个单位。

  5. 如图：已知二次函数，其中，则它的图像示意图为（    ）

  6. 已知抛物线解析式是与在同一坐标系中的图像可能是（    ）

 

二. 解答题：

  7. 用配方法求函数的顶点坐标，对称轴，抛物线与y轴的交点及函数的最值。

  8. 已知二次函数与x轴交于且过点，求此抛物线的函数解析式。

  9. 已知抛物线经过坐标原点，顶点为A，求经过A，O的直线解析式。

  10. 已知：二次函数的图像经过点三点，

    （1）求二次函数的解析式；

    （2）画出这个二次函数的图像；

    （3）指出这个二次函数的顶点坐标，对称轴及最值；

    （4）根据二次函数的图像回答当x为何值时，y随x的增大而减小；x为何值时，y随x的增大而增大。

  11. 已知二次函数，其中m为常数，且满足，试判断此抛物线的开口方向，与y轴的交点在x轴上方还是下方，与x轴的交点个数。

 

    选做题：

    已知抛物线与x轴交于，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。

                           [参考答案]

一. 填空题。

  1. （1，）；（）；

  2. ；；上；；增大

  3. （，0）；（1，0）；；或

  4. 右；1；上；2

  5. B

  6. C

二. 解答题。

  7.

     

     

    顶点：

    对称轴：直线

    交y轴于点（0，）

   

  8. 设

      

   

  9.

    顶点，设

   

  10. （1）设

   

    （2）

    顶点

    （3）顶点，对称轴

    交x轴于点

    （4）

    当时，y随x增大而减小

    当时，y随x增大而增大

  11. 解：抛物线开口向下，且

    交y轴于（0，）而

    ∴交y轴正坐标轴于点（0，）

   

    ，抛物线交x轴于两点

 

    选做题：

    顶点或

    设

     

   

   

    设